GENERALIDADES DEL SISTEMA DE MEDIDA
1. Descripción de un sistema de medida y control.
Se puede describir como un sistema donde hay una combinación de más de dos elementos que pueden realizar funciones. Esta función es la asignación objetiva de un número a una propiedad de un objeto, de tal forma que la describa. La medida deber ser independiente del observador basada en la experimentación de tal forma que exista una correspondencia entre las relaciones numéricas y las relaciones de las propiedades descritas.
2. Identificación del sistema de medida y sus bloques constitutivos.
Todo sistema de medida puede ser identificado cumpliendo por lo menos tres funciones básicas que pueden ser percibidas por nuestros sentidos, este sistema está compuesto por un sensor, proceso y resultado como se puede a preciar mejor en Figura 1.
Figura 1.
1.1. Definición de cada bloque constitutivo: Transductor, sensor, actuador, acondicionador (amplificación, filtraje, adaptación de impedancias, modulación, aislamiento), conversión entre dominios, procesamiento (linealización, estandarización, etc.).
Transductor: Es un dispositivo que convierte una señal a otra con las mismas características informáticas que la primera señal (cambio de Dominio).
Sensor: Es el transductor de entrada.
Actuador: Es el transductor de salida.
Acondicionador: Son los elementos de un sistema que ofrecen una señal apta para ser registrada a partir de una señal de salida de un sensor electrónico que permita un procesamiento posterior a través de un equipo. El acondicionador permite: amplificar, filtrar, adaptación de impedancia, modulación y aislamiento.
Conversión entre Dominios: la conversión entre dominios también podría llamarse dominio de datos y se denomina como el nombre de una magnitud mediante la cual se representa o transmite información.
1.2. Conceptos generales sobre la medida: Margen de medida.
La medida es la diferencia que hay entre los valores máximo y mínimo de una magnitud. El margen de medida se denomina margen dinámico (MD) es el cociente entre el margen de medida y el menor cambio que se puede discriminar (resolución).
2. El sensor:
2.1. Clasificación.
Según el aporte de energía los sensores se pueden dividir en moduladores y generadores. En los sensores moduladores o activos, la energía de la señal de salida procede, en su mayor parte, de una fuente auxiliar. La entrada solo controla la salida, en los generadores o pasivos la energía de salida es suministrada por la entrada.
Según la señal de salida, los sensores se clasifican en analógicos o digitales. En los analógicos la salida varía, a nivel macroscópico, de forma continua. La información esta en la amplitud o en la frecuencia. En los sensores digitales, la salida varia en forma de saltos, no requieren conversión A/D y la transmisión de su salida es mas fácil.
Según el modo de operación, los sensores pueden ser de deflexión o de comparación. En los sensores que función con deflexión, la magnitud medida produce algún efecto físico, que engendra algún efecto similar. En los sensores que funcionan por comparación, se intenta mantener nula la deflexión mediante la aplicación de un efecto bien conocido, opuesto al generador por la magnitud a medir. Se puede apreciar mejor en Tabla 1.
| Criterio | Clases | Ejemplos |
| Aporte de Energía | Moduladores Generadores | Termistor Termopar |
| Señal de Salida | Analógicos Digitales | Potenciómetro Codificador de Posición |
| Modo de Operación | Deflexión Comparación | Acelerómetro de deflexión Servo acelerómetro |
Tabla 1.
2.2. Interferencias.
Las interferencias también como perturbaciones se pueden dividir en externas e internas. Las perturbaciones internas son aquellas señales que afectan internamente a la salida debido a su efecto sobre las características del sistema de medida. Las perturbaciones externas son aquellas señales que afectan al sistema de medida como consecuencia del principio utilizado para medir las señales de interés.
2.3. Compensación de errores
Los efectos de las perturbaciones pueden reducirse mediante una alteración del diseño a base de añadir componentes al sistema, existen varios métodos entre ellos tenemos:
Método de diseño con insensibilidad intrínseca, se trata de diseñar el sistema de forma que sea inherentemente sensible sólo a las entradas deseadas.
Método de la retroacción negativa, se aplica con frecuencia para reducir el efecto de las perturbaciones internas, y es el método en los que se basan los sistemas de medida por comparación. El principio se puede representa mediante la Figura 2. Donde se supone que el sistema de medida G(s) y la retroacción empleada H(s), son lineales y se pueden describir mediante su función de transferencia. La relación entrada – salida viene dada por Ecuación 1.
Y(s) / X(s) = G(s) / (1 + G(s)*H(s) ) Ecuación 1.
Figura 2.
Método de filtrado, un filtro es todo dispositivo que separa señales de acuerdo con su frecuencia u otro criterio. Si los espectros frecuenciales de la señal y las interferencias no se solapan, el filtro pude ponerse en la entrada o una etapa intermedia para evitar vibraciones, turbulencias o electromagnetismo.
1. Características estáticas de los sistemas de medida.
Las características estáticas influyen también en el comportamiento dinámico del sensor, es decir, en el comportamiento que presenta cuando la magnitud medida varía a lo largo del tiempo. No obstante, se suele evitar su consideración conjunta por las dificultades matemáticas que entraña, estas características son:
Exactitud: Es la capacidad del instrumento para dar indicaciones de que se aproxima al verdadero valor de magnitud de la medida. Se obtiene mediante la calibración estática que no es mas que medir poco a poco una variable y de allí se construye el patrón de referencia.
Precisión: Es la capacidad de un instrumento de medida de dar el mismo valor de la magnitud medida, al medir varias veces en unas mismas condiciones determinadas, prescindiendo de su concordancia o discrepancia con el valor real de dicha magnitud.
Sensibilidad: La sensibilidad también se conoce como factor de escala, es la pendiente de la curva de calibración, que puede ser o no constante a lo largo de la escala de medida.
Linealidad: es la expresión del grado de coincidencia entre la curva de calibración y una línea recta determinada.
Resolución: es el incremento mínimo de la entrada para el que se obtiene un cambio en la salida.
Histéresis: es la diferencia en la salida para una misma entrada, según la dirección en que se alcance.
2. Características dinámicas.
La descripción del comportamiento del sensor se hace en este caso mediante las denominadas características dinámicas: error dinámico y velocidad de respuesta (retardo). El error dinámico es la diferencia entre el valor indicado y el valor exacto de la variable medida, siendo nulo el valor estático. La velocidad de respuesta indica la rapidez con que el sistema de medida responde a los cambios en la variable de entrada. En cuanto a la medida, no importa mucho que exista un retardo entre la magnitud aplicada a la entrada y la indicación correspondiente a la salida.
Para poder determinar las características dinámicas de un sensor hay que aplicar a su entrada una magnitud variable. Esta puede ser de muchas formas distinta, pero lo normal y suficiente para un sistema lineal es estudiar la respuesta frente a una entrada transitoria, periódica o aleatorio, la elección de una u otra depende del tipo de sensor.
3. Características de entrada.
La característica de entrada es un fenómeno descrito por la impedancia de entrada, el valor de esta variable para reducir su efecto sobre la variable a medir queda determinado por el tipo de variable a medir. Si la variable a medir se mide entre dos puntos se dice que son variables de esfuerzo, y en ese caso se requiere que la impedancia de entrada del sistema de medida sea alta. Si la variable a medir se pide en un punto del espacio se dice que son variable de flujo, en cuyo caso se requiere que la impedancia de entrada se baja.
4. Errores en los sistemas de medida y su análisis.
Los errores de un sistema se determinan a través de su calibración, consiste en aplicarle a la entrada valores conocidos y comparar su salida con valores con otra salida obtenida con un sistema de referencia más exacto. Según su efecto en la característica de transferencia los errores pueden ser de cero, de ganancia y de no linealidad.
TEORIA DE ERRORES EN LAS MEDICIONES
5. Incertidumbre de las Medidas.
La incertidumbre en una magnitud que se obtiene como resultado de un cálculo en el que intervienen otras magnitudes y depende de la incertidumbre en el valor de cada una de ellas.
6. Error Sistemático.
Se dice de un error sistemático cuando en el curso de varias medidas de una magnitud de un determinado valor, hechas en las mismas condiciones dan lugar a un sesgo en las medidas. La posibilidad de estos errores se entiende si se considera que en el resultado de una medida influye no solo el aparato empleado para hacer la medida sino también el método, el operario y una serie de circunstancia que nunca son ideales, constante y conocidas todas.
7. Error Aleatorio.
Los errores aleatorios se denominan también errores accidentales o fortuitos, estos errores son los que permanecen una vez eliminados las causas de los errores sistemáticos. La ausencia de variaciones de una u otras lecturas cuando se están realizando una serie de medidas de la misma magnitud con el mismo sistema de medida, no es necesariamente una indicación de ausencias de errores aleatorios, puede ser que el instrumento con que se desea apreciar la medida no tenga la suficiente resolución, es decir, su capacidad para apreciar pequeños cambios en la magnitud medida sea limitada de modo de que no sean detectados por el operario en el dispositivo final de lectura.
8. Errores Estáticos y Errores Dinámicos
Según que se manifieste las señales de entrada son lentas o rápidas, los errores se denominan estáticos o dinámicos, un error estático afecta a la señales lentas y un error dinámico afecta a la señales rápidas, es una consecuencia de la presencia de elementos que almacenan energía. El error dinámico es la diferencia entre el valor indicado y el valor exacto de la variable medida, siendo nulo el error estático.
9. Forma de expresar los errores.
9.1. Error Absoluto
Se puede definir como la resta entre el valor obtenido y el valor verdadero.
Se puede definir como la relación que hay entre el error absoluto y el valor verdadero expresado en un tanto porciento.
Se llaman cifras significativas de un número a todas sus cifras, a excepción de los ceros puestos a la izquierda de la primera cifra distinta de cero. Los ceros puestos al final de un número son siempre significativos, ya que forma parte de la medida. El número de cifras significativas es independiente del sistema de medición que se use.
11. Redondeo de Números
Es una operación aritmética realizada con un número finito de dígitos de manera que los cálculos se realizan con aproximaciones de los números aplicando una regla, si el penúltimo número a la derecha significativo es mayor que cinco el último número a la derecha significativo se agrega una cifra más a ésta, en caso contrario, es decir, menor a cinco la última cifra a la derecha significativa quedará igual.
12. Errores de cero, ganancia y de no linealidad
Un error de cero permanece constante con una independencia del valor de la entrada. Un error de ganancia es proporcional a un valor de entrada. En error de no linealidad hace que la característica de transferencia se aparte de una línea recta suponiéndola ideal.
13. Estimación del Error de una Medida Directa
La medida o medición diremos que es directa, cuando disponemos de un instrumento de medida que la obtiene, así si deseamos medir la distancia de un punto a a un punto b, y disponemos del instrumento que nos permite realizar la medición, esta es directa.
El origen de los errores es muy diversos, una forma de calcular el error en una medida directa, es repetir numerosas veces la medida, si obtenemos siempre el mismo valor, es porque la apreciación del instrumento no es suficiente para manifestar los errores si al repetir la medición obtenemos diferentes valores la precisión del instrumento permite una apreciación mayor que los errores que estamos cometiendo.
13.1. Mejor valor de un conjunto de Medidas
El mejor valor de una medida es el promedio o media que sería la suma del conjunto de medidas entre el número de ellas.
13.2. Dispersión y Error. Desviación Estándar
Dispersión de cada medida como la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Como el valor verdadero es imposible de medir, tomaremos como desviación de cada medida la diferencia entre su valor y el valor medio.
Para estimar el error cometido en una serie de medidas se puede realizar una media de sus desviaciones. Como éstas se producen al azar para que no se compensen unas con otras lo mejor es promediar sus cuadrados. En estadística se llama desviación estándar a este promedio de desviaciones, de acuerdo con la expresión:
El cuadrado de la desviación estándar, σ2, es la varianza y puede también obtenerse a partir de la relación:
13.3. Significado de
Los valores de la desviación estándar que hemos calculado en la sección anterior, son realmente estimadores de este parámetro. El conjunto de las medidas de una magnitud, siempre que exista un error accidental, pueden caracterizarse por medio de una distribución estadística. Cuando el error es debido a un gran número de pequeñas causas independientes, la distribución se aproxima a la llamada distribución normal.
La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por µ y σ . Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:
Que determina la curva en forma de campana como se puede apreciar en la Gráfica 1. Asi se dice que una característica X sigue una distribución normal de media µ y varianza σ2.
Gráfica 1.
1.1. Medidas sin dispersión. Error de lectura o instrumental
En ocasiones la repetición de la medida de una magnitud conduce siempre al mismo valor.
Como ejemplo, consideremos la medida de la longitud de un objeto con una regla graduada en milímetros. Si la medida se realiza con cierta atención, todas las medidas del objeto proporcionan el mismo valor. Es evidente que en este caso la teoría anterior no resulta aplicable, porque al ser nula la dispersión, la desviación estándar resulta igual a cero. En estos casos, la fuente de error no está en la superposición de muchas causas aleatorias, sino en la sensibilidad del aparato de medida. En efecto, el hecho de que todas las medidas sean iguales no indica en general que no haya error accidental, sino que éste es demasiado pequeño para quedar reflejado en el aparato. En el ejemplo anterior, si el error accidental de las medidas es del orden de 0,001 mm es evidente que la regla no podrá apreciarlo, resultando todas las medidas iguales. En estos casos es necesario estimar el error debido a la sensibilidad finita del aparato de medida. Es frecuente expresar el error instrumental o de lectura eins de forma que en el intervalo (me-ins, m+eins) haya un 68 % de probabilidad de encontrar el valor de magnitud medida.
En resumen, el error instrumental de una medida se expresa frecuentemente por: eins= s/3 Donde: s es la sensibilidad del aparato de medida. Hemos visto que cuando el error instrumental es mucho mayor que el accidental, éste queda enmascarado por aquel. El efecto inverso es también posible. Por tanto, en los casos en que el error accidental de una medida sea mucho mayor que el instrumental, sólo consideraremos el error accidental. En aquellos casos en que los errores sean del mismo orden de magnitud, puede considerarse que el error total es la suma de los dos: e= eins + σ donde eins es el error instrumental y σ es el error accidental expresado por la desviación estándar.
Las operaciones matemáticas con números inciertos dan lugar a resultados también inciertos, y es importante estimar el error de los resultados a partir de los errores de los números con los que se opera.
En la Gráfica 2. Se hace representación de la superficie de un cuadrado en función de su lado. La relación del error del lado (Ex) y el error de la superficie (Ey) viene dado por la pendiente, es decir, la derivada.
Gráfica 2.
Supongamos que se mide el lado (X) de un terreno cuadrado, y a partir de esta medida quiere obtener su superficie (Y). La medida del lado llevara aparejada un error que puede ser de origen accidental, instrumental o ambos casos a la vez. Supongamos que el lado mide 8 m y el error es de 1 m. el valor de la superficie es por tanto de 64 m2 y estamos interesados en estimar su error.
En la Gráfica 2. Se ha representado la superficie en función del lado. El error en la medida de los lados puede interpretarse como el radio de un entorno alrededor del valor nominal, en cuyo interior estará el valor del lado como una determinada probabilidad. Si proyectamos este entorno sobre la curva obtendremos otro entorno en el eje de las ordenadas, que se representa el error de la superficie. Checando la Gráfica 2. Llegamos a la conclusión de que el error de la superficie es de algo más de 15 m2.
Es una medida de precisión normal, el error es lo suficientemente pequeño como para poder sustituir la curva por la recta tangente a la curva. La relación entre el error de (Y) y el error de (X) será entonces la pendiente de la curva en el punto de interés. Es decir, la relación entre el error del lado y el error de la superficie es la derivada de la función: Ey = (dy/dx) * Ex.
En nuestro caso (dy/dx) = 2*x. Como el valor del lado es 8. El error de la superficie (Y) es 16 veces el error del lado, como ya habíamos estimado gráficamente.
Para generalizar tendremos 2 o mas variable en vez de una. Ejemplo en el caso anterior si la superficie fuese rectangular en vez de ser cuadrada, la superficie estaría en función de 2 variables, la base (X) y la altura (Y). la medida de cada una de estas dos variables tendrá un cierto error, que se propagará al valor de la superficie: S = (X)*(Y).
La contribución del error de cada lado al error de la superficie vendrá dado por la ecuación Es = |ds/dx|*Ex + |ds/dy|*Ey.
Es importante tener presente que esta expresión es válida solo en los siguientes supuestos:
- El error de cada variable es menor que el error en la misma variable.
- Las variables son independientes en el sentido estático del término. Quiere esto que el valor de una de ellas no afecta en lo absoluto al valor de la otra.
1.1. Ajuste por mínimos cuadrados
Hasta ahora nos hemos ocupado de la manera de obtener el mejor valor de una magnitud a partir de una o varias medidas. Un problema más general es determinar la relación funcional entre dos magnitudes x e y como resultado de experimentos.
Supongamos que por razones teóricas bien fundadas sabemos que entre x e y existe la relación lineal (y = a*x + b) y deseamos determinar los parámetros a y b a partir de n medidas de x e y. a es la pendiente de la recta, es decir, la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, y b la ordenada en el origen, es decir la altura a la que corta la recta al eje de ordenadas.
Se debe calcular la recta de la Gráfica 3. Que tomaremos como ejemplo para poder explicar mejor, esta recta se calcula a través método, llamado método de los mínimos cuadrados.
Gráfica 3.
El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes:
a. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste
∑ (Yｰ - Y) = 0.
b. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0 (mínima). El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci².
La obtención de los valores de a y b que minimizan esta funcion es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:
Ecuación 2.
Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.
Derivando parcialmente Ecuación 2. Con respecto a “a” y “b” valiendo la redundancia se tiene respectivamente:
Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.
